Les Systèmes de Références (WGS84)

      Les Systèmes de Références

                                WGS84

Système local
    - en altimétrie
    - en planimétrie
Système général
    - Système de référence géodésique
    - Système de référence altimétrique        - Qu'est ce qu'un GÉOÏDE?
        - Surfaces équipotentielles et altitudes
        - Altitudes orthométrique, dynamique, normale
    - Systèmes utilisés et transformations
        La surface de référence utilisée en France, traditionnellement, le GÉOÏDE, est une surface qui ne se prête guère à une manipulation mathématique parce qu'irrégulière. C'est pourquoi les géodésiens lui ont associé l'ellipsoïde dont les caractéristiques a,b sont choisies afin que l'ellipsoïde soit le plus proche possible du géoïde. Les valeurs de a,b seront donc différentes suivant la volonté des géodésiens à faire "coller" l'ellipsoïde à l'ensemble du géoïde (problème mondial) ou seulement à une partie (problème national). Ils sont donc nombreux. L'association d'un ellipsoïde au géoïde se fait par l'intermédiaire d'unpoint dit "fondamental" car en ce point, le géoïde et l'ellipsoïde ont une petite surface confondue, ce qui implique qu'en ce point:
    - la normale (perpendiculaire) à l'ellipsoïde est confondue avec la verticale (perpendiculaire au géoïde) en ce point
   

     

        - Systèmes de référence géodésique

                - mondiaux   
                        Leur existence a été rendue nécessaire par l'apparition du système de positionnement par satellites et par les problèmes de géophysiques (déplacements des plaques continentales).

                        1°) C'est l'I.E.R.S. (International Earth Rotation Service), créé en 1988, qui rend compte annuellement de ses systèmes de référence de la Terre appelés I.T.R.S. (I.e.r.s. Terrestrial Reference System). Cet organisme publie, chaque année, les paramètres de passage entre le système de l'année en cours par rapport à celui de  l'année précédente. Il y a 20 ans, ces paramètres n'auraient pas changé, mais on arrive, maintenant, à prendre en considération le fait qu'une station de référence, au sol, subit la dérive de la plaque tectonique sur laquelle elle est implantée, à savoir, quelques cm. Ces variations sensibles sont prises en compte par des techniques de mesures spatiales très précises: VLBI, Laser, GPS, DORIS. L'exactitude de ce système est de l'ordre de quelques décimètres.

Ces paramètres sont classiques pour passer d'un système cartésien tridimensionnel à un autre, à savoir:
- les trois translations Tx, Ty, Tz pour amener l'origine de l'un à se confondre avec celle de l'autre (leur ordre de grandeur peut être de plusieurs centaines de m)
- les trois rotations Rx, Ry, Rz pour amener chacun des 3 axes à se confondre avec son homologue (ordre de grandeur: 0.02'')
- parfois il est nécessaire d'ajouter aux 6 paramètres précédents, un paramètre prenant en compte le fait que les vecteurs unitaires (des 2 systèmes) n'ont pas le même module (ordre de grandeur <10-5).

Je n'ai pas trouvé d'ellipsoïdes associés aux différents ITRS. Il est fort possible que les utilisateurs aient besoin d'une très grande précision (les géophysiciens par exemple) et que le passage en coordonnées géographiques la leurs fasse perdre. Ont ils vraiment besoin de L et M pour évaluer le déplacement d'une bordure de faille de l'écorce terrestre?

                        2°) le WGS 84 (World Geodetic System 1984)    

C'est dans ce système que sont édités les points levés par GPS. L'exactitude de celui ci est de l'ordre du mètre (on parle bien ici du système et non pas des coordonnées d'un point obtenu par GPS).
L'ellipsoïde associé est: IAG-GRS80 ( a= 6378137.0m    f = 1/298.257222001 )

               - européens

                    1°) ETRS89 (European Terrestrial Reference System 1989)    

Ce système est intégré au système mondial ITRS. Là non plus, pas d'ellipsoïde associé.

                    2°) ED50 (European Datum 1950)    

Il a été établi par les Américains au sortir de la 2ème guerre mondiale:
le point fondamental est Postdam
l'ellipsoïde associé est celui de Hayford 1924 ( a = 6378388.0m    f = 1/297.0000000 )
C'est sur cet ellipsoïde que sont calculées les coordonnées planes UTM figurant sur les cartes topographiques.

La projection cylindrique UTM (Universal Transverse Mercator) couvre le monde entier et est constituée de 60 fuseaux de 6 degrés d'amplitude en longitude.
La France est sur 3 fuseaux:

• UTM Nord fuseau 30 : entre 6 degrés ouest et 0 degré Greenwich
• UTM Nord fuseau 31 : entre 0 degré et 6 degrés est Greenwich
• UTM Nord fuseau 32 : entre 6 degrés est et 12 degrés est Greenwich (le méridien 9° est en contact avec le cylindre )

Référentiel géodésique associé	ED50
Ellipsoïde associé	International (Hayford 1909)
X0 (False Easting)	500 000 m
Y0 (False Northing)	0 m
Longitude origine	-3°, 3°, 9° Est Greenwich (fuseaux 30, 31, 32)
Facteur d'échelle	0.9996

Voici, de plus, 

             - nationaux

           1°) la N.T.F. (la Nouvelle Triangulation Française)    

Ce système est encore (1999) le système légal français. Les répertoires publiés par l'IGN en tiennent compte. Chaque point est connu par ses coordonnées géographiques (L,M) et par ses coordonnées rectangulaires (E, N). Cette correspondance n'a pas été simple à établir. Une   image vous en est donnée dans ces paragraphes (lien).

L'ellipsoïde associé est celui de Clarke 1880 ( a = 6378249.2     f = 1/293.466021 )
La projection est celle conique de Lambert du type "conforme".
Le point fondamental est la croix du Panthéon.
Le méridien origine est matérialisé dans la salle "Cassini" de l'Observatoire de Paris.
Un découpage nord-sud de la Métropole défint 4 zones "Lambert"

Zone lambert	I	II	III	IV	II étendu
Zone application	53.5gr - 57gr	50.5gr - 53.5gr	47gr - 50.5gr	Corse	France entière
Latitude origine	55gr = 49°30'	52gr = 46°48'	49gr = 44°06'	46.85gr = 42°09'54"	52gr = 46°48'
Longitude origine	0gr Paris	0gr Paris	0gr Paris	0gr Paris	0gr Paris
Parallèles automécoïques	48°35'54.682" 50°23'45.282"	45°53'56.108" 47°41'45.652"	43°11'57.449" 44°59'45.938"	41°33'37.396" 42°46'03.588"	45°53'56.108" 47°41'45.652"
k0	0.99987734	0.99987742	0.99987750	0.99994471	0.99987742
X0 : False Easting	600 000 m	600 000 m	600 000 m	234.358 m	600 000 m
Y0 : False Northing	200 000 m	200 000 m	200 000 m	185 861.369 m	2 200 000 m

         2°) le R.G.F. (le Réseau Géodésique Français)

C'est le nouveau système qui deviendra légal, incessamment, sous peu.                

Référentiel géodésique	RGF93
Ellipsoïde associé	IAG GRS80
X0 (False Easting)	700 000 m
Y0 (False Northing)	6 600 000 m
Latitude origine	46°30' N
Longitude origine	3° Est Greenwich
Parallèles automécoïques	44° N et 49° N

Vous pouvez vous faire une idée du RGF en lisant ce paragraphe.

   - les transformations

Revenons à notre problématique exposée dans l'introduction: nécessité de "passer" d'un système à un autre pour utiliser les logiciels de traitement des données GPS.
Il faut noter aussi, dés à présent et ce sera revu dans la section consacrée au GPS, que les logiciels d'exploitation des données "terrain GPS" calculent eux mêmes les paramètres de passage dés lors qu'on leur a fourni aux moins 3 points connus dans les deux systèmes.

Quels seront nos types de problémes?

1°) "Passer" d'un système tri-dimensionnel X,Y,Z à un autre X', Y', Z'    

Nous l'avons vu ci-dessus. La connaissance de ces paramètres est évidemment nécessaire. On peut trouver ceux-ci au LAREG (Laboratoire de Recherche en Géodésie) au http://lareg.ensg.ign.fr/.
Une idée des valeurs vous est donnée dans le tableau ci-dessous.

SG1	SG2	TX(m)	TY(m)	TZ(m)	D (10-6)	r1('')	r2('')	r3('')
NTF	ED50	-84	37	437	0	0	0	0
WGS84	NTF	168	60	-320	0	0	0	0
RGF93	NTF	168	60	-320	0	0	0	0
ITRF90	WGS84	0.060	-0.517	-0.223	-0.011	0.0183	-0.0003	0.0070
ITRF94	ITRF93	0.006	-0.005	-0.015	0.0004	-0.00039	0.00080	-0.00096

2°) Transformation X,Y,Z Þ j, l , h (dans un même système géodésique)    

Voici l'algorithme de calcul: 
P = ( X² + Y² ) ^1/2             l = arctan ( Y / X )         j₀ = arctan ( Z / P )    On rappel que a ^1/2 = 

le calcul de j est itératif à partir d'ici     w = ( 1 - e²sin² j₀ ) ^1/2

N = ( a / w )     on rappel que a le demi grand axe et  caractérisent l'ellipsoïde

h = P cos j₀ + Z sin j₀ - a w

si ï j  - j₀ ï  < e alors on garde  j  sinon on affecte à  la valeur de j₀ celle de j et on recommence le calcul ci-dessus.

Système géodésique	Ellipsoïde associé	a	b	1/f	e
NTF	Clarke 1880 IGN	6378249.2	6356515.0	293.466021	0.08248325676
ED50	Hayford 1909	6378388.0	6356911.9461	297.000000	0.08199188998
WGS84	IAG GRS 1980	6378137.0	6356752.314	298.257222	0.08181919106

Il peut être utile de savoir que le méridien de Paris est situé à 2° 20' 14.025" à l'est de celui de Greenwich

3°) Transformation j, l , h Þ X,Y,Z (dans un même système géodésique)    

  X = ( N a + h ) cos j cos l        Y = ( N a + h ) cos j sin l         Z = ( N a (1 - e² ) + h )sin j

4°) Transformation j, l Þ E,N (en projection conique conforme)    

g = l sin j₀           soit L = f ( j ) donc L₀ = f ( j₀ )

        on rappelle que "cot" signifie cotangente, çàd, 1/tan
R = R₀ exp (- sin  j₀ ( L - L₀ ) )
E ou x = R sin g + Cx            N ou y = R₀ - R cos g + Cy

j₀: latitude du // origine     exemple: 55 gon pour le Lambert I
R₀: rayon de l'image du // origine
k₀: échelle sur le // origine    exemple: 0.99987734 pour le Lambert I
Cx, Cy: constantes en E ou x et N ou y     exemple pour le lambert: Cx = 600 000m    Cy = 200 000m

5°) Transformation E,N Þ j, l (en projection conique conforme)    

tan g = ( E - Cx ) / ( R₀  - N + Cy ) Þ l  = g / sin j₀R = ( E - Cx ) / ( sin g ) = ( R₀ - N + Cy ) / ( cos g )
L₀ = f ( j₀ ) comme au 4°) ci-dessus
L = L₀ - ln ( R / R₀ ) / ( sin j₀ ) 
j₁ = 2 arctan (exp ( L ) ) - p / 2   attention à ne pas confondre exponentiel (noté ici exp()) et excentricité e
puis on calcule  par itération 

Remarque: calculer par itération consiste, tout simplement, dans la formulation précédente, à réinjecter j qui vient d'être calculé dans cette même formule. j varie donc mais on s'aperçoit que cette variation tend vers zéro. Quand s'arrêter? Cette limite dépend de la précision recherchée. Si vous voulez être précis au cm, il vous faudra ne pas perdre le mm. Il faut donc établir une relation entre l'angle au centre qu'est la longitude avec la mesure de l'arc qui lui correspond au mm.
Le périmètre de la Terre est de 2PR = 40000km pour un angle au centre de 400 gons, soit pour 1gon, 100km. Le mm représente une fraction de 10-8 de 100km. Il faudra donc itérer le calcul de j jusqu'à ce que la différence avec la valeur précédente soit inférieure à 1 gon / 10-8 soit 0.0001 dmgon.

6°) Transformation Altitude ( H ) Û hauteur ellipsoïdale ( h )   

    

h » C + H        C représentant la distance "normale" entre l'ellipsoïde et le géoïde ( c'est la hauteur du géoïde ), il a été nécessaire de la calculer point par point.

Voici, publié par l'IGN depuis novembre 1970, en six parties et exprimées sous forme de "courbes de niveaux", les hauteurs ellipsoïdales ( Clarke 1880 ) du géoïde:

  
  

Les techniques spatiales ont permis d'affiner les premiers modèles de détermination de la hauteur du géoïde définie par astro-géodésie.

La méthode consiste à déterminer les coordonnées astronomiques, donc relatives  et les coordonnéesgéodésiques, donc relatives à un même point. De la déviation de la verticale (angle entre verticale et normale du lieu), on déduit la pente du géoïde. De ce travail effectué entre deux points, on en déduit la courbure prise par le géoïde entre ceux-ci. Lescoordonnées astronomiques sont déduites des observations faites sur les étoiles et des calculs rendus possibles par les éphémérides (tables donnant la position, très précise, des étoiles, en fonction du temps). Les coordonnées géodésiques, quant à elles, ont été déduites des observations faites, sur le terrain, par méthodes de triangulation. Ainsi, pour simplifier, si les coordonnées astronomiques d'un point, sont : la = 3°12'45" E  et  ja = 48°44'18" N puis lg = 3°12'45" E  et  jg = 48°44'21" N alors q = 3" ce qui représente une pente d'environ 4m à 300km.

Les résultats sont vérifiés, statistiquement, sur le terrain pour apprécier la finesse des calculs.
Ceux ci sont présentés sous forme de grilles ou de "courbes de niveau" toujours au Lareg en ce qui concerne le passage RGF93 - IGN69.

En voici d'autres concernant le géoïde et l'ellipsoïde de Hayford associé au système géodésique ED50.

Longitude   ®Latitude  ¯	0°	10°	20°	30°	40°
0°	18	12	-13	-9	-28
10°	22	23	2	-3	-7
20°	31	26	15	6	1
30°	36	28	29	17	12
40°	52	48	35	40	33

   Le tableau, en extrait ci-dessus, donne C, en m, dans le système WGS84. Comme pour les cartes, il est nécessaire d'interpoler pour déduire C en un lieu précis.

Exemple: lieu l = 27°  j =15°    

	20°	27°	30°
10°	2m	-1.5m	-3m
15°	8.5m	3.6m ou 3.6m	1.5m
20°	15m	8.7m	6m

6°) Exemples et Conclusion     

Vous avez, ci-dessus, un certain nombre d'outils qui ont une fonctionnalité bien précise. A vous de bien assimiler ces dernières et d'être rigoureux dans leur mise en oeuvre. De plus, il est possible d'associer ces outils: en effet on peut vous demander une transformation du type E1, N1 Þ E2, N2 ( transformer les coordonnées rectangulaires Lambert I d'un point en son équivalent en Lambert II, par exemple). C'est une transformation qui ne fait pas partie de la liste ci-dessus. Toutefois, vous pouvez faire un détour par les deux transformations relais: E1,N1 Þ j, l puis j, l Þ E2,N2. Vous voyez que le type des problèmes posés peut être varié.
Ces formules se prêtent bien à la programmation. De plus un programme vérifié vous permettra de gagner du temps et de la sûreté au cours d'un examen.
Voici un bon moyen de vous exercer. Le site de l' IGN vous permet d'afficher les coordonnées moyennes d'une commune. Les résultats étant affichés, ils vous permettront de vérifier tant vos calculs manuels que vos programmes.

Coordonnées de la commune de CONDE-SUR-VESGRE (78)
Projection	X	Y
Lambert II étendu	550200 m	2416200 m
Lambert Zone I	550300 m	1116000 m
Système	Longitude l	Latitude j
NTF	-0.751 grades	54.158 grades
ED50	01° 39' 39"	48° 44' 33"

Vous pouvez vous exercer à "passer" du Lambert I au II, ce qui devrait vous permettre de vérifier, par la même occasion, les coordonnées géographiques dans la NTF.

Autre type d'exercice: en 1ère approximation, passer de la NTF à l'ED50 est facile car il suffit de se rappeler que l'équateur a, dans les deux systèmes, la valeur 0 et que le décalage entre les méridiens de Paris et de Greenwich, vaut 2° 20' 14.025". Il reste à tout transformer dans la même unité angulaire et contrôler les résultats. Mais si on se souvient que les ellipses associés ne sont pas identiques et que les types de projection sont aussi différents, alors, passer de la NTF à l'ED50 est plus difficile mais procède du même état d'esprit. On a j1, l1 et on veut j2, l2. Ici, on ne peut pas passer par l'outil E,N Þj, l car les formules ne sont vraies que dans le cas d'une projection conique conforme alors que pour l'ED50, la projection est cylindrique transversale.
Il faut donc utiliser j1, l1 , h1 Þ X,Y,Z puis X,Y,Z à un autre X', Y', Z' puis X',Y',Z' Þ j2, l2 , h2 . Mais pour ce faire, il faut connaître h donc C et l'altitude du point.

L'altitude normale IGN69 moyenne de cette commune est de 110m. Il est donc nécessaire de trouver maintenant C. L'image, ci-dessus, que l'on importe assez facilement du site du Lareg ne peut être exploitée car concerne la différence de hauteur entre géoïde et l'ellipsoïde associé au RGF, c'est à dire le RGS80. Nous savons que celui associé à la NTF est celui de Clarke 1880. Trouver C, entre le Géoïde et l'ellipsoïde de Clarke 1880, est plus difficile, même sur le Net. L'IGN, en particulier le service "Géodésie" publie une carte "en courbes de niveau" donnant, pour la France continentale, la valeur de C. Je vais donc prendre C = 0 (valeur confirmée par le service "Géodésie"), donc h = 110m aussi. Ensuite, y a pu ka! Bon courage!

N =          X =     Y =      Z = 
X' =     Y' =     Z' = 
P  =    l  = - 0.7504711gon auquel il faut ajouter les 2° 20' 14.025" (Greenwich - Paris) soit 1.8464502gon ou 1° 39' 42.499" soit 3.5" d'écart avec le résultat obtenu en 1ère approximation. Quand on sait qu'une " d'écart, en longitude, entre 2 points, représente  m à la latitude de 48° 44', on faisait donc une petite erreur de 70m. (Ce dernier petit calcul vous montre aussi qu'un GPS doit afficher les millièmes de " pour avoir la correspondance centimétrique).
j₀ =     w =     N =      h = 
j =     Quand on réitère le calcul, on trouve  = 48°44'35.014" soit 4 millièmes avec le résultat précédent.
Il y a là, 2" d'écart avec le calcul approximatif soit 60m en latitude.

Voilà, cette page clôt le chapitre consacré aux "Systèmes de référence". Les connaissances qui s'y trouvent ainsi que les exemples mettant en oeuvre la compétence "transformer" doivent être compris et acquis afin d'aborder celui sur le GPS.

Vous pouvez charger, afin d'enfoncer le clou, une page au format dwg (Autocad 14) qui représente un document de synthèse sur les systèmes de référence en cliquant sur cette image. Ce document est une bonne image pour comprendre les problèmes qui se poseront à vous.

Depuis début 2001, l'IGN met à disposition du public un outil appelé "Circé 2000". C'est un ensemble de feuilles de calcul rédigées avec un tableur réputé qui permet de transformer en RGF93 qui s'imposera à terme au détriment de la NTF.
Vous pouvez charger cet outil (528ko) au format ".zip" à partir du site de l'I.G.N. http://www.ensg.ign.frou, directement, en cliquant sur ce logo  . La version disponible est celle de mai 2001.

De plus, éh oui, vous faites partie d'une génération de topographes en formation qui se trouve confrontée à la multiplicité des systèmes de référence. Que vous le vouliez ou non il faudra que vous soyez capable de "passer" d'un système à un autre mais aussi d'en connaître les caractéristiques, tout au moins de ceux les plus usuels (les nationaux tout au moins). C'est pourquoi j'ai élaboré ce petit outil didactique qui, je l'espère, vous permettra de vous familiariser avec chacun d'entre eux ainsi que d'avoir des ordres de grandeur de coordonnées et de module de réduction des distances du à la projection.